Líneas de Investigación

Las áreas de investigación que pueden ser desarrolladas por los alumnos son:


Matemáticas Aplicadas 

Nuestra investigación cubre las áreas de análisis numérico, problemas inversos y optimización. En el análisis numérico nos enfocamos en ecuaciones diferenciales parciales que típicamente representan problemas de la física matemática y electromagnetismo. Estudiamos métodos numéricos y sus propiedades de aproximación, además de problemas de álgebra lineal numérica relacionados. Actualmente cubrimos métodos de elementos finitos y de frontera, métodos de pasos en el tiempo (time-stepping), y métodos de Petrov-Galerkin para problemas perturbados singularmente. Un tópico particular es el desarrollo de algoritmos numéricos rápidos. Estos incluyen el análisis de su precisión y eficacia, y estrategias de pre-acondicionamiento y compresión para sistemas grandes de matrices.

En problemas inversos el objetivo es una reconstrucción indirecta de parámetros inciertos usando mediciones de una cantidad afectada por dichos parámetros. Modelos usuales incluyen ecuaciones diferenciales o integrales, donde las incógnitas son parámetros de la ecuación, las mediciones corresponden a conocimiento parcial de la solución, y el objetivo es determinar los coeficientes desconocidos. En tales escenarios, el estudio de los problemas inversos recae fuertemente en técnicas de análisis funcional y sus aplicaciones, incluyendo ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones integrales y/o teoría de operadores.

Un problema de optimización busca encontrar la mejor solución (bajo cierto criterio) sobre un conjunto dado de alternativas. Nos enfocamos en el desarrollo de nuevas técnicas algorítmicas y desarrollos de cotas inferiores para tales problemas. Dependiendo del tipo de problemas las técnicas usadas tienen una naturaleza continua o discreta, incluyendo complejidad computacional, análisis convexo, matemáticas discretas y diseño de algoritmos. El área encuentra múltiples aplicaciones, en particular para problemas que vienen de las ciencias de la computación, investigación de operaciones, economía e ingeniería.

Académicos relacionados: Matías CourdurierThomas FührerNorbert HeuerJosé Verscahe.


Ecuaciones Diferenciales Parciales

Se analizan la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Se estudian también la formación de singularidades y patrones, la evolución de ciertos objetos geométricos, y la concentración de energía en estructuras localizadas.

Se busca en algunas ocasiones modelar el comportamiento de un fenómeno físico por medio de sistemas de ecuaciones, o bien simplificar modelos ya existentes por medio de aproximaciones rigurosas y análisis asintóticos. El énfasis está puesto en ecuaciones que requieran del análisis no lineal.

Académicos relacionados: Carmen CortázarDuvan HenaoMarta García-HuidobroAlberto MonteroMónica MussoNikola KamburovMircea Petrache.


Geometría 

Estudiamos las propiedades geométricas de las variedades desde distintos puntos de vista. Se estudia la rigidez de las variedades riemannianas frente a ciertos objetos geométricos, así como la evolución de estas variedades bajo diversos flujos. También se estudian aspectos geométricos y analíticos de funciones univalentes y localmente univalentes en dominios del plano complejo, transformaciones armónicas del plano y su relación con superficies mínimas,  así como a generalizaciones a varias variables complejas. Por otro lado, se estudia la geometría de las superficies algebraicas y sus espacios de móduli, y las superficies K3 en relación a categorías derivadas.  Las principales herramientas provienen del análisis complejo, la geometría diferencial y la geometría algebraica y las ecuaciones diferenciales.

Académicos relacionados: Martin ChuaquiPilar HerrerosNikola KamburovMircea PetracheMariel SáezGiancarlo Urzúa.


Geometría Algebraica y Aritmética

Nuestro grupo se enfoca en geometría algebraica, teoría de números, y en las interacciones entre estas importantes áreas en el marco de geometría aritmética. Estudiamos la geometría de superficies algebraicas especialmente de tipo general, con énfasis en su geografía y en la compactificación de Kollár-Shepherd-Barron--Alexeev de sus espacios de móduli, desarrollando nuevas herramientas explícitas en teoría de Mori. A su vez atacamos problemas en superficies sobre existencia de curvas de género bajo junto con su potencial hiperbolicidad, en el sentido de inexistencia de curvas enteras, todo esto motivado por temas de origen tanto geométrico como aritmético. También investigamos puntos racionales y algebraicos en variedades algebraicas por medio de geometría de Arakelov, métodos de equidistribución, representaciones de Galois, aproximación Diofantina, teoría analítica de números y formas automorfas. Estas herramientas nos permiten desarrollar métodos nuevos en la aritmética de puntos en variedades de Shimura y curvas elípticas, con aplicaciones a temas fundamentales como dinámicas de operadores de Hecke, puntos especiales, rangos de curvas elípticas y las conjeturas de Vojta. Además, nuestro grupo desarrolla aplicaciones de todo lo anterior en conexión con lógica matemática, en el contexto del décimo problema de Hilbert.

Nuestro equipo mantiene fuertes redes internacionales y genera actividades relevantes en el área. Estas incluyen seminarios, conferencias y un flujo constante de invitados provenientes de otros centros de investigación. En particular, aspiramos ofrecer un ambiente de excelencia para acoger a jóvenes que busquen especializarse en estos temas. 

Académicos relacionados: Natalia García, Ricardo Menares, Héctor Pastén, Giancarlo Urzúa.


Probabilidades

Los principales temas de investigación en el área de probabilidad son ecuaciones diferenciales parciales estocásticas, la ecuación de KPZ, sistemas de partículas, medios aleatorios, marchas aleatorias en medios aleatorios, y probabilidad no conmutativa.

Académicos relacionados: Manuel CabezasGregorio MorenoAlejandro RamírezChristian Sadel.


Sistemas Dinámicos

Sistemas Dinámicos es una importante área de la matemática. Su origen puede situarse con los trabajos de mecánica celeste de Poincaré a fines del siglo XIX.  El principal objetivo es comprender el comportamiento cualitativo de sistemas determinísticos.  Las técnicas, preguntas son variadas y van desde el uso de métodos probabilísticos, a técnicas puramente topológicas. Es una disciplina estrechamente relacionada con la física. Por ejemplo, los métodos e ideas de mecánica estadística han influenciado el área.

Por otra parte, sistemas dinámicos ha encontrado aplicaciones en las más diversas áreas de la matemática, desde la teoría de números a las ecuaciones en derivadas parciales. Las aplicaciones son variadas,  desde las finanzas a la sociología. Partes de la teoría de sistemas dinámicos como fractales y caos ha recibido gran atención mediática en el  último tiempo. En la Facultad existe un grupo con diversos intereses, con fuertes redes internacionales, con seminarios, congresos e invitados que lo hacen un lugar perfecto para especializarse en este tema.

Académicos relacionados: Jairo Da Silva BochiGodofredo IommiJan Kiwi, Mario Ponce.


Física-Matemática

Muchos modelos de la Física Matemática moderna requieren el manejo transversal de herramientas matemáticas como la Geometría no Conmutativa, Geometría Diferencial, Teoría de Representación, Teoría de Operadores, Teoría Espectral, EDP, Probabilidades, Funciones Especiales. En el grupo de Física Matemática se estudia una amplia gama de temas. Dichos temas incluyen desde la Teoría de Dispersión (Scattering theory) hasta la Mecánica Estadística pasando por la Teoría de Resonancias, el estudio de los Operadores de Schrödinger, Hamiltonianos magnéticos, Operadores Aleatorios, Sistemas Ergódicos, Sistemas Cuánticos no Autónomos, Sistemas Cuánticos Abiertos, Sistemas Integrables, Sistemas Cuánticos Topológicos y varios otros.

Académicos relacionados: Olivier Bourget, Erdal Emsiz, Claudio FernándezGueorgi RaykovRafael Tiedra de AldecoaGiuseppe de NittisMircea PetracheChristian Sadel.