Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SANTAS)

El Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SaNTAS) es un seminario de investigación organizado en conjunto por la Universidad de Santiago de Chile, la Universidad de Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile. Nos reuniremos este semestre los días miércoles a las 14:30hrs, en la Sala de seminarios del Departamento de Matemática de la Universidad de Chile (Las Palmeras).
Los expositores serán investigadores invitados que trabajan en temas afines al álgebra y teoría de números, y está orientado a estudiantes de postgrado e investigadores de universidades locales.

Organizadores: David Grimm (Usach), Giancarlo Lucchini (UCh), Natalia García (UC).

2018-06-27
14:30hrs.
Giancarlo Urzúa. Pontificia Universidad Católica de Chile
Variedades Hiperbólicas
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Luego de definir y dar ejemplos de variedades hiperbólicas, discutiré sobre su relevancia y existencia, finalizando con un corolario de un trabajo en conjunto con Natalia García sobre la existencia de intersecciones completas hiperbólicas de grados bajos. Esta última parte la explicaré a través de variedades cuboides, las cuales son generalizaciones de la variedad del problema del cuboide perfecto de Euler. Indicaré preguntas abiertas geográficas que quedaron en el camino. 
2018-06-20
14:30hrs.
Matías Alvarado. Universidad de Chile
Puntos Fijos en Endomorfismos de Toros Complejos y Variedades Abelianas
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
En el último tiempo ha sido bastante fructífero estudiar aspectos asintóticos en geometría algebraica. Por este motivo, en esta charla aplicaremos este método para estudiar ciertas propiedades de toros complejos. Más específicamente, estudiaremos el número de puntos fijos de las iteraciones de un endomorfismo, y como los distintos comportamientos de este número pueden dar información sobre el toro. Para esto, usaremos herramientas de aproximación diofantina y teoría de números, como la medida de Mahler.
En la segunda parte de la charla estudiaremos el caso de las variedades abelianas simples, y como el comportamiento asintótico se relaciona en este caso con el tipo de álgebra de endomorfismos que presenta la variedad. Para finalizar, veremos que un endomorfismo define cierto sistema dinámico, y se mostrará cuando un número de Salem puede aparecer como entropía de dicho sistema, lo cual dependerá del tipo de multiplicación de la variedad y del comportamiento asintótico de los puntos fijos.
2018-06-13
14:30hrs.
Matthieu Arfeux. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Espacio de Berkovich y Compactificación de Deligne-Mumford en Dinámica Holomorfa
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Inspirado de una compactificación introducida por Deligne y Mumford, desarrollé en mi tesis un vocabulario bastante simple para compactificar el espacio de moduli de fracciones racionales de grado dado. Éste permite dar una idea más intuitiva de la dinámica sobre la linea proyectiva de Berkovich. En otras palabras, traté de dar una "buena" compactificación del espacio naturalmente estudiado en dinámica holomorfa (iteración de fracciones racionales en la esfera de Riemann) mediante la introducción de dinámica en árboles de esferas, lo cual se relaciona muy bien con la dinámica no arquimedeana.
La dinámica sobre la linea proyectiva de Berkovich se usa bastante también en teoría de números, pero generalmente el formalismo asociado a este objeto lo hace difícil de entender a través de la literatura. Durante esta charla,expondré de manera heurística lo que es el espacio de Berkovich con la dinámica asociada a una fracción racional en este mismo, y mostraré como se relaciona con mi tesis de doctorado y preguntas interesantes de dinámica holomorfa.
2018-06-06
14:30hrs.
Stephen Griffeth. Universidad de Talca
Aplicaciones de Las Fórmulas de Las Normas de Polinomios Ortogonales en la Teoría de Representaciones
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Explicaré como las fórmulas explícitas para las normas de polinomios ortogonales entran en dos problemas con origen en la teoría de representaciones de álgebras de Cherednik: primero, en la clasificación de representaciones unitarias de álgebras de Cherednik, y segundo, en la construcción de una equivalencia de Morita entre el álgebra de Cherednik y su sub-álgebra esférica (la cuál tiene una relación íntima con la geometría del esquema de Hilbert de puntos en una superficie). Mi intención es dar una charla para un público general de matemáticos, y no asumiré ninguna familiaridad con el álgebra de Cherednik ni la teoría de representaciones.
2018-05-30
14:30hrs.
Sebastián Reyes. Universidad de la Frontera
Superficies de Riemann Determinadas Por Sus Grupos de Automorfismos
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Los grupos de automorfismos de superficies de Riemann compactas han sido extensamente estudiados, atrayendo la atención de importantes matemáticos, como Wiman, Hurwitz y Klein, entre otros. Un resultado clásico asegura que el orden del grupo de automorfismos de una superficie de Riemann compacta de género g ≥ 2 está acotado por 84(g − 1).
Un interesante problema para considerar es entender en qué medida el orden del grupo de automorfismos puede determinar la superficie de Riemann. Este problema relaciona aspectos algebraicos y geométricos.
El objetivo de esta charla es discutir algunos ejemplos clásicos.
2018-05-23
14:30hrs.
Nicolas Thériault. Universidad de Santiago de Chile
Resolver el Logaritmo Discreto Utilizando Información Parcial
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Calcular el logaritmo discreto en un grupo cíclico genérico (sin estructura especial utilizable) es un problema computacional difícil, y es a la base de muchos criptosistemas actuales.  En grupos escritos aditivamente, la operación principal de la encriptación es la multiplicación escalar (calcular la suma de $r$ copias de un generador), y existen varias técnicas para hacer este cálculo más eficiente. En algunas situaciones, el trabajo computacional hecho durante la multiplicación escalar puede dejar filtrar información sobre el escalar mismo. En esta charla veremos como evaluar el efecto práctico (sobre la dificultad del logaritmo discreto) cuando la multiplicación escalar dejar filtrar una parte de la información sobre el escalar mismo.
2018-05-09
14:30hrs.
Pablo Quezada. Pontificia Universidad Católica de Chile
Cocientes Suaves de Variedades Abelianas
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Daremos una clasificación de los cocientes A/G que son suaves, donde A es una variedad abeliana de dimensión mayor o igual a 3 y G es un grupo de automorfismos finito de A. Para esto, nos reduciremos al caso en que la representación analitica de G es irreducible. Estudiaremos además en detalle dos construcciones explícitas de tales cocientes.
Si el tiempo lo permite, veremos el caso de dimensión 2.
2018-05-02
14:30hrs.
Héctor Pastén. Harvard University
Puntos Algebraicos y Sus Alturas
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
La altura de un punto algebraico en una variedad es una medida de su complejidad aritmética. Entre las varias formas de construir alturas uno puede mencionar: alturas de Weil, alturas de Neron-Tate, alturas de Arakelov. Cada una tiene sus ventajas y hay comparaciones entre ellas. El propósito de la charla es explicar algunos aspectos bastante modestos de esta historia en el caso más sencillo posible: puntos en curvas. Luego de algunos comentarios generales, me enfocaré en un caso aun más específico donde la teoría se vuelve explícita ya que uno tiene fórmulas precisas para dichas alturas: los puntos de Heegner en curvas de Shimura. Explicaré también la relación ya clásica de dichas alturas con la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, así como también una conexión más reciente con la conjetura abc. La charla será más bien de carácter impresionista.
 
2018-04-25
14:30hrs.
Ignacio Saavedra. Universidad de Chile
Edificios de Bruhat-Tits
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas, Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
En los años 50 J. Tits introdujo una construcción geométrica llamada "edificios esféricos", los cuales son complejos simpliciales que contienen subcomplejos finitos que triangulan a la esfera, dichos subcomplejos se llaman (de)(a)partamentos.
La idea de está construcción se basa en la búsqueda de espacios, en los cuales, un grupo dado actúe preservando las propiedades geométricas.
 
Posteriormente Bruhat y Tits construyeron edificios en los cuales los (de)(a)partamentos son una triangulación de un espacio Euclideano, dichos edificios, conocidos como Edificios de Bruhat-Tits o Edificio Euclideano, están asociados con ciertos grupos algebraicos lineales sobre un cuerpo local no arquimediano K.
 
En esta charla, definiremos los edificios de Bruhat-Tits desde lo básico y daremos algunos ejemplos para finalizar con una breve explicación de mi trabajo de tesis.
2018-04-18
14:30hrs.
Mathieu Florence. Université Pierre Et Marie Curie (Paris 6)
Splitting Families in Galois Cohomology
Sala A, Facultad de Ciencias, Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Let $F$ be a field, and let $A/F$ be a central simple algebra. Recall that $A$ is said to be split, if $A$ is isomorphic to a matrix algebra over $F$. The Severi-Brauer variety of $A$, denoted by $SB(A)$, is a variety over $F$, with the following remarkable property: for any field extension $E/F$, the variety $SB(A)$ has an $E$-point if and only if $A$ splits over $E$. In this talk, we will discuss a vast generalization of this classical construction.

Namely, let $n\geq 2$ be an integer, and let $x$ be a Galois cohomology class in $H^n(F,A),$ where $A$ is a finite Galois module over $F$. We will explain how to build an ind-variety $V(x)$, defined over $F$, such that the following holds. For any field extension $E/F$, $V(x)$ has an $E$-point if and only if $x$ vanishes in $H^n(E,A)$. This is joint work with Cyril Demarche (Paris 6).

[OJO! Hay cambio de sala. Para los que no sepan llegar, un grupo partirá desde el departamento de matemáticas (el lugar habitual) 5 minutos antes de la charla.]
2018-04-11
14:30hrs.
Tomás Seguel. Universidad de Santiago de Chile
Sobre Sumas de Cuadrados en R(X,y) y Curvas Elípticas en R(X)
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:

En esta charla se expondrá el resultado principal de un paper de Cassels, Ellison y Pfister (1970).
Toda función de R(X,Y) semidefinida positiva es una suma de cuadrados de R(X,Y) (Hilbert 1893), más aún, es conocido que todas ellas se pueden escribir como una suma de cuatro cuadrados de R(X,Y) (Landau 1906). Sin embargo tuvo que transcurrir bastante tiempo antes de lograr responder a la pregunta de si cuatro cuadrados es la cantidad mínima con la cual se puede escribir cualquiera de estas.
Durante la charla se exhibirá el primer ejemplo de una función semidefinida positiva en R(X,Y) que no es una suma de tres cuadrados de R(X,Y), el llamado “polinomio de Motzkin”, respondiendo así a la interrogante planteada previamente. Para realizar esto, veremos que el polinomio de Motzkin tiene asociada cierta curva elíptica, en donde la información de ser una suma de tres cuadrados se traduce en la existencia de ciertos puntos racionales de esta en R(X). Así, el problema principal consiste en estudiar el grupo de los puntos racionales de la curva elíptica.

2018-04-04
14:30hrs.
Óscar Vega. California State University, Fresno
Unitales en los Planos de Figueroa
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
La mayoría de los esfuerzos dedicados a entender planos proyectivos finitos está restringida al estudio de planos de traslación y de las estructuras que contienen. Esto se debe a que las mejores herramientas disponibles en Geometría Finita están disponibles sólo para planos de traslación. Naturalmente, planos que no son de traslación son difíciles de encontrar y difíciles de estudiar. Un ejemplo de estos planos que es particularmente complejo es la familia de los planos de Figueroa.

En la primera mitad de esta charla, construiremos los planos de Figueroa siguiendo el trabajo de Grundhöfer (1986) en vez de la construcción original de Figueroa (1982). En la segunda mitad nos enfocaremos en unitales y en ver donde pueden ser hallados.

Unitales son estructuras combinatóricas que a veces pueden ser encontradas como una sub-estructura de un plano proyectivo. Casi todo lo que se sabe acerca de unitales contenidos en planos proyectivos es para cuando el plano es 'clásico' y, como es de esperar, se sabe muy poco acerca de unitales en planos de Figueroa. De hecho, sólo se conoce un ejemplo de tal unital, llamado unital de Figueroa (de Resmini and Hamilton, 1998). Sorprendentemente, sólo recientemente se probó que este unital no es 'clásico' (Hui and Wong, 2012). 

Algunos resultados parciales acerca de la existencia de otros unitales en planos de Figueroa y algunas nuevas propiedades del unital de Figueroa serán presentados en esta charla.
2018-03-28
14:30hrs.
Arvind Kumar. National Institute of Science Education and Research (Niser), India
Identities Among Eigenforms
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Identities connecting modular forms (in particular, eigenforms) have attracted the attention of many mathematicians since they imply nice identities among their Fourier coefficients. It is quite natural to ask whether the property of being a Hecke eigenform is preserved under multiplication or more generally, under the Rankin-Cohen bilinear operators. In this talk, we will give a brief survey of the existing results in this direction after introducing the necessary background of the subject.

We then consider a subclass of the space of quasimodular forms and nearly holomorphic modular forms for our purpose. In the main result, we classify all the cases when the Rankin-Cohen bracket of two eigenforms results in an eigenform. In the process, we obtain some new polynomial identities among quasimodular eigenforms. We extensively use the Rankin’s method and the non-vanishing properties of modular L-functions on appropriate half-planes.
2018-03-21
14:30hrs.
Álvaro Liendo. Universidad de Talca
Caracterización de Variedades Tóricas Afines Por Su Grupo de Automorfismos
Sala de Seminarios, Dpto de Matemática de la Universidad de Chile. Las Palmeras.
Abstract:
En esta charla demostraremos que las variedades tóricas afines, con la única excepción del toro algebraico, están únicamente determinadas por su grupo de automorfismos visto como ind-grupo. Mas precisamente, sea X una variedad tórica afín distinta del toro algebraico y sea Y una variedad afín normal e irreducible. Si los grupos Aut(X) y Aut(Y) son isomorfos como ind-grupos, entonces X e Y son isomorfas como variedades abstractas. Además, proveemos un contraejemplo a este resultado en el caso del toro algebraico.