Seminario de Postgrado en Matemáticas

Este seminario es una instancia para que estudiantes de postgrado de esta y otras instituciones puedan presentar sus proyectos de tesis, así como otros temas de interés. Está dirigido a estudiantes de postgrado y de último año de licenciatura, por lo que se espera que en cada exposición se de una introducción o motivación sobre el tema a discutir. Cada charla tendrá una duración de 60 minutos.

Actual coordinador: Nicolás Alvarado.
2018-10-24
15:30-16:30hrs.
Sebastián Pavez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Optimización Ergódica: Introducción, Ejemplos y Teoremas de Revelación
Sala 3
Abstract:
El objeto de estudio de la optimización ergódica es describir las órbitas de cierto sistema dinámico que maximizan cierta función "performance" dada. En el contexto de esta charla, consideraremos el caso de $(X,T)$ un sistema dinámico, con $X$ espacio métrico compacto, $f\in\mathcal{C}(X)$, y queremos estudiar que ocurre con las órbitas que maximizan el problema $$\beta(f)=\sup_{x\in X}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(f(x)+f(T(x))+\dots+f(T^{n-1}(x)))$$ donde este límite exista. Lo anterior, se puede trabajar de forma equivalente como $$\beta(f)=\sup_{\mu\in\mathcal{M}_T}\int fd\mu,$$ donde $\mathcal{M}_T$ denota las medidas de probabliidad $T$-invariantes. Luego de enunciar algunos resultados en el segundo contexto, vamos a hablar en específico de un ejemplo conocido en el circulo $S^1$.

Para finalizar, vamos a hablar de las revelaciones, las cuales son una herramienta bastante útil para describir medidas que maximizan la segunda igualdad.
2018-10-17
15:30-16:30hrs.
Fernando Figueroa. Pontificia Universidad Católica de Chile
Arreglos de rectas sobre un cuerpo
Sala 3
Abstract:
En esta charla veremos lo que son los arreglos de rectas y sus realizaciones sobre un cuerpo.
Veremos distintos fenómenos que suceden al variar el cuerpo sobre el que trabajamos.
2018-09-26
16:30hrs.
Victor Cañulef. Universidad Autónoma de Madrid
Tópicos en Mecánica de Fluidos
Sala 3
Abstract:
En esta charla se discutirán algunos de los tópicos actuales de investigaciónn en mecánica de fluidos, tales como: modelos 1D, evolución de interfaces y desarrollo de singularidades para ecuaciones que modelan la evolución de fluidos incompresibles.
2018-09-12
17:00hrs.
Pilar Lorenzo. Pucv-Usm-Uv
Difeomorfismos de Anosov y Pseudo-Anosov: I
Sala 3
Abstract:
En esta charla introduciremos el concepto de difeomorfismo de Anosov y revisaremos sus principales propiedades. Básicamente un difeomorfismo de Anosov es aquel que tiene asociadas dos foliaciones transversales sin singularidades en donde el comportamiento dinámico es contractivo en una y expansivo en la otra. Veremos que hay interesantes comportamientos dinámicos que se pierden si se observa una singularidad en las foliaciones, lo que introducirá el concepto de difeomorfismo Pseudo-Anosov, revisando propiedades de estos últimos.
2018-09-12
18:00hrs.
Bruno Yemini. Pucv-Usm-Uv
Difeomorfismos de Anosov y Pseudo-Anosov: II
Sala 3
Abstract:
En esta charla introduciremos el concepto de difeomorfismo de Anosov y revisaremos sus principales propiedades. Básicamente un difeomorfismo de Anosov es aquel que tiene asociadas dos foliaciones transversales sin singularidades en donde el comportamiento dinámico es contractivo en una y expansivo en la otra. Veremos que hay interesantes comportamientos dinámicos que se pierden si se observa una singularidad en las foliaciones, lo que introducirá el concepto de difeomorfismo Pseudo-Anosov, revisando propiedades de estos últimos.
2018-09-05
16:30hrs.
Alfredo Calderón. Pucv-Usm-Uv
Descomposición espectral de la dinámica de aplicaciones contractivas a trozos en el intervalo
Sala 3
Abstract:
Sean $X\subset\mathbb{R}$ un intervalo compacto y $f:X\to X$ una aplicación. Decimos que $f$ es una aplicación contractiva a trozos si $f$ es $\lambda$-lipschitz ($0<\lambda<1$) en el interior de cada elemento de una partición finita de $X$. En esta charla vamos a introducir algunos conceptos de dinámica topológica adaptados a este contexto, discutiendo las principales dificultades que se presentan en el desarrollo de la teoría. Nuestro objetivo será describir la dinámica asintótica de esta clase de sistemas y, para esto, hablaremos de comportamientos "no genéricos" de las órbitas y cómo es que provocan la aparición de conjuntos de Cantor atractores.
2018-07-19
16:30hrs.
Felipe Riquelme. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Distribución de órbitas periódicas y entropía de endomorfismos racionales en la esfera: II
Sala 3
Abstract:
En 1965, Brolin utilizó teoría del potencial para probar que si $P$ es un polinomio complejo, las soluciones de la ecuación $P^{m}(\zeta)= z$ tienen una distribución asintóticamennte uniforme para alguna medida invariante sobre la esfera de Riemann. Sin embargo, esto es más general. Ljubich demostró en 1981 que esto vale para cualquier función racional sobre la esfera de Riemann, con una medida soportada en el conjunto de Julia, y exhibió cómo obtener esta medida como límite de medidas que equidistribuyen la masa en las pre-imágenes de un punto o en órbitas periódicas. Más aún, Ljubich también mostró que esta medida concentra todo el caos posible del sistema al realizar la entropía topológica y ser la única medida de probabilidad invariante verificando esta propiedad. 

En esta charla, dividida en dos sesiones, mostraremos algunas nociones básicas de dinámica compleja y explicaremos los pasos fundamentales en las pruebas de equidistribución y realización de entropía.
2018-07-19
15:00hrs.
Vanessa Matus de la Parra. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Distribución de órbitas periódicas y entropía de endomorfismos racionales en la esfera: I
Sala 3
Abstract:
En 1965, Brolin utilizó teoría del potencial para probar que si $P$ es un polinomio complejo, las soluciones de la ecuación $P^{m}(\zeta)= z$ tienen una distribución asintóticamennte uniforme para alguna medida invariante sobre la esfera de Riemann. Sin embargo, esto es más general. Ljubich demostró en 1981 que esto vale para cualquier función racional sobre la esfera de Riemann, con una medida soportada en el conjunto de Julia, y exhibió cómo obtener esta medida como límite de medidas que equidistribuyen la masa en las pre-imágenes de un punto o en órbitas periódicas. Más aún, Ljubich también mostró que esta medida concentra todo el caos posible del sistema al realizar la entropía topológica y ser la única medida de probabilidad invariante verificando esta propiedad. 

En esta charla, dividida en dos sesiones, mostraremos algunas nociones básicas de dinámica compleja y explicaremos los pasos fundamentales en las pruebas de equidistribución y realización de entropía.
2018-07-18
15:30hrs.
Jose Yañez. Universidad de Utah
El grupoide fundamental y el teorema de Seifert-van Kampen
Sala 3
Abstract:
En esta charla introduciremos el concepto del grupoide fundamental de un espacio topológico, una generalización del grupo fundamental. Veremos una versión del teorema de Seifert-van Kampen para el grupoide fundamental.
2018-07-03
17:00hrs.
Cristian González. Instituto de Matemática Pura y Aplicada
Empaquetamiento de Esferas
Sala 3, Facultad de Matemáticas
Abstract:
El problema de buscar la forma óptima para empaquetar esferas en $\mathbb{R}^{n}$ (para cada n) es un problema clásico que ha interesado a los matemáticos desde siempre. En esta charla hablaremos un poco de la historia de este problema, los resultados básicos y su relación con principios de incertidumbre que se presentan naturalmente en análisis.
2018-06-05
17:00hrs.
Vanessa Matus de la Parra. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Mixing Topológico del flujo geodésico en superficies hiperbólicas de volumen finito
Sala 3, Facultad de Matemáticas
Abstract:
El mixing topológico es una de las distintas formas de medir el caos. Éste establece que zonas arbitrarias del espacio interactúan en el futuro y la interacción es persistente. Verificar cuándo se satisface esta propiedad no es una tarea fácil, mas admitir regiones no compactas en el espacio lo convierte en un problema aún más difícil. Como un primer paso en este objetivo, consideraremos superficies hiperbólicas de volumen finito y estudiaremos el mixing topológico del flujo determinado por seguir la curva que minimiza distancia en la dirección escogida, al cual llamamos flujo geodésico.
2018-05-22
17:00hrs.
Esteban Cárdenas. PUC
Rotational Symmetry Breaking and Asymptotic Dynamics of 2-D Quantum Systems
Sala 3. Facultad de Matemáticas
Abstract:
In $\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R}^2)$, we study the stability of the localization properties of a certain Schrodinger operator $H_0$. To this end, we consider perturbations $W$ belonging to a specific class and set $H=H_0+W$. The problem can be stated as follows: given a bounded interval $I\subseteq \mathbb{R}$, under what conditions there exists a dense subspace $\mathcal{D} \subseteq \mathcal{H}$ such that if
\begin{equation*}
\sup_{t\geq 0} \| |\textbf{X}|^{1/2} e^{-itH_0} \chi_{I}(H_0)\varphi  \| < \infty \qquad \forall\varphi\in\mathcal{D}, 
\end{equation*}
then we also have
 \begin{equation*} \sup_{t\geq 0} \| |\textbf{X}|^{1/2} e^{-itH} \chi_{I}(H)\varphi  \| < \infty \qquad \forall\varphi\in\mathcal{D} ?
\end{equation*}
We give a partial answer to this question. Namely, we prove the existence of a dense $\mathcal{D}$ for which $\|\textbf{X}|^{1/2} e^{-itH} \chi_{I}(H)\varphi  \|$ can grow at most logarithmically in time.

Based on joint work with E. Stockmeyer (PUC), I. Anapolitanos, D. Hundertmark and S. Wugalter (KIT).
2018-04-17
17:00hrs.
Gabriel Ramírez. PUC
Reguladores minimales en cuerpos de números
Sala 3, Facultad de Matemática
Abstract:
Se presentará un método que permite determinar los cuerpos de números de algún grado dado y una signatura de regulador minimal. Para ello se estudiarán desigualdades entre reguladores y discriminantes en cuerpos de números.
2018-03-27
17:00hrs.
Claudio Bravo Castillo. Universidad de Chile
Acciones sobre Bruhat-Tits y fracciones continuas
Sala 3, Facultad de Matemáticas
Abstract:
En esta charla estudiaremos la región fundamental para la acción de $G = \mathbb{M}_{2}(\mathbb{F}[t])^{*}$ sobre el árbol de Bruhat-Tits asociado al cuerpo de valuación discreta $K = \mathbb{F}((t^{-1}))$. Dicho estudio nos permitirá expresar $G$ como un producto amalgamado de ciertos subgrupos de si mismo. Este desarrollo es un análogo discreto del estudio de regiones fundamentales y amalgamas para la acción de grupos artitméticos, como el grupo modular sobre el semiplano de Poincaré. Además, analizaremos la conección entre la acción de $G$ y la expresión de un elemento cualquiera en $K$ como fracción continua de elementos en $\mathbb{F}[t]$. Si el tiempo lo permite, discutiremos la acción de las unidades de un orden Eicher sobre el árbol.
2018-03-20
17:00hrs.
Nicolás Alvarado. PUC
Movimientos Holomorfos y el Teorema de Slodkowski
Sala 3, Facultad de Matemáticas
2017-11-16
17:00hrs.
Renato Velozo. PUC
Metric mean dimension y el principio variacional
Sala 3. Facultad de Matemáticas
Abstract:
Como un reemplazo natural al concepto de entropía para sistemas de entropía infinita, la metric mean dimension tiene un rol análogo en el estudio de los sistemas dinámicos. Durante esta charla discutiremos las principales propiedades de esta dimensión. Finalmente presentaré el principio variacional clásico y el que fue probado por Lindenstrauss y Tsukamoto a principios de este año.
2017-10-26
17:00hrs.
Roberto Maturana. PUC
Una ley 0-1 para marchas aleatorias en ambientes aleatorios iid
Sala 3, Facultad de Matemáticas
Abstract:
Deduciremos una ley 0-1 para una RWRE plana iid. Esta trata sobre una transiencia direccional para esta marcha bajo una medida de probabilidad annealed. Esta charla será autocontenida, no presupondrá conocimientos previos de teoría de probabilidad avanzada.
2017-10-12
17:00hrs.
Sergio Troncoso. PUC
Revisión sobre divisores, cubrimientos cíclicos y fibraciones, en geometría algebraica
Sala 3, Facultad de Matemáticas
Abstract:
Se dará una breve descripción de los elementos básicos sobre divisores, cubrimientos cíclicos y fibraciones. Mostraremos ejemplos explícitos de los conceptos y una idea de su importancia.
2017-09-21
17:00hrs.
Sebastián Burgos. Pontificia Universidad Católica de Chile
Análisis Multifractal de Promedios de Birkhoff
Sala 3
Abstract:

En el espacio simbólico se consideran dos potenciales Hölder. Se definen conjuntos de nivel de los promedios de Birkhoff hacia el futuro con un potencial y hacia el pasado con el otro. Queremos estudiar la función que codifica la descomposición del espacio en estos conjuntos de nivel: la función que manda dos números reales a la dimensión de Hausdorff del conjunto de nivel respectivo. El resultado principal es que los conjuntos de nivel son densos en el espacio, pero la función que los codifica es lo más regular posible, analítica real.

2017-08-31
17:00hrs.
Nicolás Alvarado. PUC
El problema del Pijama
Sala 3, Facultad de Matemáticas
Abstract:
El conjunto del pijama es la unión de todas las vecindades verticales de radio arbitrariamente pequeño, centradas en los enteros del eje real en el plano complejo. En esta charla mostraremos que es posible cubrir todo el plano complejo usando una cantidad finita de rotaciones de las franjas que componen este conjunto.